1 задача (2 балла). Доступна большинству учащихся и соответствует программе 10 класса, аналогичная задачам из контрольной работы на пятерку.
Задача 1. Решите уравнение:
.
Решение:
Прологарифмируем это уравнение по основанию 2012:
;
;
; х;
.
Обозначим ,
;
По теореме, обратной теореме Виета,
t = или t = ,
; = ,
x = 2011. .
Ответ: ; 2011.
Критерии оценивания:
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
2
Способ решения верен, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ обоснованно получен хотя бы один ответ
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
2 задача (2 балла). Доступна большинству учащихся и соответствует программе 10 класса, содержит «изюминку», благодаря которой сильный ученик ее решает быстрее и рациональнее.
Задача 2. Решите неравенство: .
Решение.
1 способ. Рассмотрим функцию f (x) = . Ее область определения x 1.
На этой области функция f (x) строго возрастает как сумма двух возрастающих функций, определенных в этой области (эти функции возрастают по свойству функции ).
Значит, функция f (x) принимает наименьшее значение при наименьшем значении х из области определения, то есть в точке х = 1.
f (1) = .
Таким образом, для всех x 1 , поэтому исходное неравенство
выполняется лишь в случае равенства обеих частей 2, то есть при х = 1.
Ответ: 1.
2 способ. ОДЗ x 1.
По свойствам неравенств, для любого x 1
x 0; x 4;
; , (1)
значит, . (2)
Так как для любого x 1 имеет место (1) , то равенство (2) возможно лишь в случае
то есть при x = 1.
Ответ: 1.
Критерии оценивания:
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
2
Верный ответ получен, но недостаточно обоснованно ИЛИ Ход решения верен, но допущена незначительная ошибка
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
3 задача (3 балла). Содержит геометрический материал, доступна большинству учащихся.
Задача 3. Ребра AD и BC пирамиды DABC равны 24 и 10 см. Расстояние между серединами ребер BD и AC равно 13 см. Найдите угол между AD и BC.
Решение.
Обозначим M – середина BD, N – середина АС.
По условию MN = 13 см.
1) Проведем NK параллельно BC, NK является средней
линией треугольника АВС, поэтому
NK = BC; NK = 5 см.
2) К – середина АВ, МК – средняя линия
треугольника ABD, значит,
МК = AD; МК = 12 см.
3) Так как прямая NK параллельна прямой BC,
прямая KM параллельна прямой AD, то угол MKN равен углу
между прямыми AD и BC.
4) В треугольнике KMN имеем: NK = 5 см, МК = 12 см, MN = 13 см.
MN2 = MK2 + NK2 (действительно, 169 = 144 + 25), по теореме, обратной теореме Пифагора, угол MKN прямой.
Ответ: 900.
Критерии оценивания:
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
3
Способ решения верен, но получен неверный ответ
2
Ход решения верен, но решение не закончено
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
4 задача (4 балла). Соответствует по уровню задаче, предлагаемой на городском туре, тема произвольная.
Задача 4. Найдите все натуральные значения n, при которых является простым числом.
Решение.
Очевидно, n – нечетное число (если бы оно было четно, то сумма была бы четна), то есть n = 2k + 1. Тогда = = =
Воспользуемся тождеством:
= = .
Тогда
= .
Но по условию число простое, следовательно, меньший множитель равен 1:
= 1;
;
что возможно лишь в случае, когда и , то есть при k = 0.
Отсюда n = 1.
Ответ: 1.
Критерии оценивания:
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
4
Способ решения верен, но решение недостаточно обосновано
3
Способ решения верен, но получен неверный ответ
2
Ответ правильный, но решение не обосновано
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
5 задача (5 баллов). Соответствует по уровню задаче, предлагаемой на городском туре, тема произвольная.
Задача 5. Найдите все значения параметра а, при которых длина интервала, являющегося решением неравенства , равна 2 + .
Решение.
Пусть a – x = t, тогда x = a – t. Подставив x = a – t в данное неравенство, приходим к равносильной задаче: найти все значения параметра а, при которых длина интервала, являющегося решением неравенства , равна 2 + .
Построим эскизы графиков функций y = и y = t.
Графиком функции y = является полуокружность радиуса | a | с центром в начале координат, расположенная в I и II координатных четвертях.
В прямоугольном треугольнике ОМР ОМ = |a|,
ОР =МР, значит, ОР =МР = .
Итак, решением данного неравенства является отрезок , длина которого по условию должна равняться 2 + .
Имеем:
;
;
; откуда a = 2 или a = 2.
Ответ: 2; 2.